1 团队简介:

智能计算团队于2018年入选天津市高等学校“十三五”创新团队培养计划，致力于研究计算数学及交叉学科中一些应用问题的建模和高效率计算方法。团队现有成员15人, 其中天津市特聘讲座教授1人, 天津市特聘教授青年学者1人, 131创新人才第二梯队1人, 第三梯队3人。团队成员经过集体努力，协同攻关，在一些领域取得了一批高水平的研究成果。近几年，团队获批4项国家自然科学基金面上项目、3项青年项目、1项天津科委重点项目等，在计算数学、运筹学与控制论、光学等交叉学科领域取得突破，一些主要成果发表在国际著名期刊如Mathematics of Computation、SIAM 系列、IEEE Trans汇刊、Journal of Global Optimization、Optics Express、Acta Crystallogr A。团队获得国际计算科学大会ICCS2019最佳论文奖1项、天津市自然科学三等奖1项、天津市数学与统计学联合年会青年学者奖1项、天津市数学会青年学术奖二等奖1项、三等奖2项、辽宁省自然科学学术成果奖三等奖1项。

团队积极参与国际国内合作，与美国劳伦斯伯克利国家实验室（LBNL）的科学家们设计了偏向干分析算法，共同开发了高通量成像分析软件，帮助世界同步辐射光源的科学家们在更强的光束下更快速地采集数据实现纳米尺度样本高分辨率成像。长期以来，团队与国内外的专家学者保持着紧密的学术联系, 2021年以来, 团队举办了交叉学科论坛，邀请了包括国家杰青、万人计划领军人才、国际数学家大会45分钟报告人、超算项目最高奖“戈登贝尔”奖获得者等多位海内外数学、信息科学、水文学、心理学、数据科学及相关交叉学科的专家学者，共举办了十余场学术报告，推动了数学在一些相关领域的交叉融合发展。

目前，团队主要在以下领域开展研究工作：

图像处理问题的高效率并行算法研究及其在医学图像处理中的应用;

微分和积分方程正问题与反问题的高精度算法研究及其在地下水和材料科学中的应用;

优化问题的理论分析与数值算法设计；

现代智能算法及其在图像和地下水中的应用研究

2 团队成员:

王同科教授，团队负责人，研究方向为微分方程和积分方程数值解法，近年主要从事奇异积分、奇异微分和积分方程的符号数值高精度混合算法研究工作，并在地下水领域开展数值模拟研究工作。

常慧宾研究员，主要研究方向包括计算光学成像、医学图像处理及大规模问题并行算法。近年来主要关注计算光学和同步辐射光源成像算法研究。

郝永红教授， 水资源与水环境重点实验室，教授，主要研究方向为地下水数值模拟、气候变化和人类活动对水文过程的影响等。

赵志学副教授，研究方向为分布参数系统控制理论、偏微分方程反问题及其在地下水领域中的应用。

卢越副教授，研究方向为锥优化、矩阵优化、逆优化、交通优化等运筹优化理论与数值算法设计。

曹清洁博士，研究方向为成像建模与计算、图像分析、机器视觉等。

李君博士，研究方向为复杂流体的建模与计算、相场相关理论与计算、深度学习等。

廉欢博士，研究方向为智能优化算法、奇异积分方程等。

刘志方博士，研究方向为图像处理反问题中数学模型、数值优化算法和机器学习等。

陈章玲博士，研究方向为深度学习、机器学习、图像处理等。

孙凤麟博士，研究方向为反散射问题的理论分析与数值求解等。

3 团队代表成果:

4 团队代表性研究介绍:

4.1 特色研究一：叠层相位恢复算法设计

偏相干（Partial Coherence）问题在同步辐射成像中普遍存在，其突出特点为相位恢复二次反问题基础上进一步耦合了未知的核函数，因而为快速求解带来了巨大挑战。原有的偏相干分析理论一般基于美国光学会前会长、罗切斯特大学Wolf教授在JOSA(1982)关于多模态分解理论，其刻画偏相干效应需要借助一组正交基函数，然而这组基函数之间的关系并不明确。 自该理论提出三十余年来，探索分解函数深刻内在关联的研究一直未有进展，因而成像模型和计算的复杂度非常高。团队提出了基于探针函数分解的新模型，只需三个基于梯度分解函数即可实现二阶精度逼近，简单有效，并显著减少了同步辐射光源成像实验对于相干光通量以及曝光稳定性的限制。 该成果发表于ACTA CRYSTALLOGR A（创刊于1948 年，国际晶体学联合会旗舰刊物），并被编辑选为封面论文，相关算法已被写入美国劳伦斯伯克利国家实验室的SHARP软件系统。该项成果被美国伯克利国家实验室同步报道及ScienceDaily、Phys.org等专业网站转载，并被美国布鲁克海文国家实验室科学家主编的Handbook on Big Data and Machine Learning in the Physical Sciences 丛书系列（第二卷）收录。团队进一步优化算法在GPU上的并行算法，相关研究论文入选2019 年在葡萄牙召开的The International Conference on Computational Science 最佳论文奖（前2%论文），并被该实验室报道。

4.2 特色研究二：大规模非凸非光滑问题的区域分解算法

全变差正则化相关的图像恢复模型自上世纪八十年代末提出后取得了巨大成功，其本质上需要求解大规模的线性或者非线性反问题。由于变分正则化模型具有非光滑或者非凸（部分模型还有非局部性质）的特性，团队聚焦设计该类问题的区域分解算法，围绕全变差、非局部全变差图像恢复以及分割模型开展了系统工作。 有界变差空间（连续情形）中的函数是非光滑的，且子空间分解具有不可加性，为设计区域分解算法和收敛性刻画带来实质性困难。以前的研究基本避开了无穷维空间的困难，如SIAM Fellow柏林洪堡大学M. Hintermuller教授、剑桥大学C. Schönlieb教授等人的工作关注了有限维有界变差空间中的分解和区域分解算法。然而以上研究即使在离散框架下也只能得到相应算法的序列收敛性。 我们从预对偶角度出发，引入单位分解函数得到了分布约束集合的显式分解，进而设计出有强收敛保证的区域分解算法。在该框架下进一步刻画了收敛速度，这是在曼尼托巴大学S.H.Lui教授课题组于2006年在JCAM上发表相关工作以来，首次在连续框架下得到该问题的收敛性刻画。相关成果自2015年正式发表，已被发表于知名期刊SIAM J. Imaging Sci.、SIAM J. Sci. Comput.、SIAM J. Numer.Anal.上的论文关注和引用，从本质上推动了连续空间中该问题的收敛算法研究。 如斯图加特大学A. Langer博士等人发表在SIAM J. Numer. Anal.2019年的论文强调了我们在连续框架下的贡献，进一步采用我们提出的约束分解技术（该论文中的算法2.2）提出了在连续情形下具有收敛性刻画的重叠型区域分解算法，进一步丰富了该类问题的区域分解算法理论。此外，我们的工作也引发了区域分解算法知名学者、韩国科学技术院O. Lee教授课题组从预对偶角度设计了非重叠型区域分解算法（SIAM J. Sci. Comput.，2017）以及J. Park博士从凸优化角度研究区域分解算法（SIAM J. Numer. Anal.，2020）。

4.3 特色研究三：地下水数值模拟

地下水数值模拟研究团队，早在2011年就由水资源与水环境重点实验室的郝永红教授和数学学院的部分老师建立，目前共有10名成员。该团队综合应用小波分析方法、极值统计理论、参数辨识方法、机器学习和微分方程数值计算方法在地下水海底排泄、含水层非均质识别、我国北方岩溶泉流量模拟、极端气候对我国岩溶地下水的影响，以及大尺度气候模式对我国北方岩溶泉流量的影响等领域开展研究，取得了一批有影响力的成果。截止目前，项目组成员已完成或在研5项国家自然科学基金项目，在国际高水平学术期刊发表论文30余篇，并于2019年获天津市自然科学三等奖一项。

4.4 特色研究四：奇异问题基于psi级数展开的高精度算法研究

奇异问题在科学研究和工程计算中经常遇到，一些典型的例子包括奇异积分方程、奇异微分方程和分数阶微分方程。对于奇异问题，如何准确地刻画解的奇异性质一直是一个尚未完全解决的困难问题，也是设计高精度算法的瓶颈所在。在近几年对于奇异问题的算法研究中，我们发现，函数在奇点存在psi级数展开式。该级数是Taylor级数的推广，其展开式中的幂指数可以为任意实数，甚至还可以包括对数项，可以准确地刻画函数的代数和对数奇性，包括强弱奇异，而且，该级数展开式已在Mathematica等软件中得以实现。 基于该级数展开式，我们发展了一套计算奇异问题的高精度算法。算法的核心思想是通过迭代和级数展开(符号运算)求出解在奇点的有限项psi级数展开式，对于解的奇异性质给予准确刻画。由于已得到问题奇性的全部信息，在设计数值算法时可以分离出解的奇异部分，将奇异问题转化为正则问题，然后设计高精度算法得到在整个区间上的近似解。该方法的优点是：准确刻画函数的奇异性质，级数展开的计算成本低，因而能够以较低的计算成本得到高精度的数值方法。

4.5 特色研究五：结构化矩阵优化逆问题的非凸交替方向方法

结构化矩阵优化逆问题是矩阵优化中的一类典型问题，存在于针对大数据问题的建模之中。基于变分分析的费马定理，我们研究了问题的一阶稳定点条件，定义了问题的增广拉格朗日函数，通过引入辅助变量和分析函数的可分结构，设计了非凸交替方向方法求解，在其中使用了较一般的对偶步长，即步长可以大1。这一点将长步长算法的设计思路应用到对矩阵逆优化问题的算法设计中，扩展了交替方向的使用范围。 在证明算法收敛性质的过程中，定义了一个结构化能量函数，它包含两个部分，一部分为经典的增广拉格朗日函数，另一部分为辅助变量的附加距离。在一定程度上，这一函数是原问题目标函数的上方估计函数，结合上方估计极小化算法，证明了该结构化能量函数的下降性质，并给出了罚因子的一个可计算的下界条件。在罚因子下界条件和能量函数的初值条件下，证明了算法序列的有界性质，并据此给出了本文算法的收敛性结论。在能量函数为Kurdyks-Lojasiewicz (KL)函数的附加假设条件下，结合KL函数梯度法的分析思路，证明了算法生成的整个序列收敛到问题的一阶稳定点。不同于其他求解矩阵优化逆问题的算法，我们同时给出了本文算法的非遍历迭代复杂度，它的阶为O(1/k)。由于能量函数的非凸特征，给出了问题的初始点选择策略，该策略是保证能量函数初值条件成立的充分条件。针对两类典型的结构化矩阵优化逆问题，应用提出的初始点选择策略，给出了相应的初始迭代点选择。

4.6 特色研究六：非对称锥优化问题的理论分析

非对称锥优化问题是锥优化领域的一簇极其重要的研究问题，非对称锥也广泛地存在于各类实际问题的研究中。目前文献中存在着大量的非对称锥，如圆锥、p阶锥、Lp锥，椭圆锥、幂锥、指数锥、齐次锥、矩阵范数锥、几何锥、共正锥、双曲锥等。我们针对其中几类典型非对称锥得到了下述结果：

针对圆锥约束优化问题，讨论了圆锥的切锥、临界锥、sigma项等 变分几何性质并且建立了问题的一阶最优性条件和无间隙二阶最优性条件。

针对椭圆锥优化问题，研究了椭圆形锥的代数特征。另外，发现椭圆锥包含了二阶锥、圆锥和正椭圆锥作为其特例，该锥通过调整内积这一技术手段(即利用特殊定义的内积代替自然内积),可以实现自对偶化，这一点为研究其他非对称锥提供了新的技术方法。由于这类锥的特例中既有二阶锥这一典型对称锥，同时又包含圆锥、正椭圆锥等非对称锥，这为利用比较、类比的方法研究对称锥与非对称锥的本质差别提供了一个优秀的研究范本。与此同时，系统地讨论了椭圆锥的变分几何、投影与分解表达式及相关锥函数的光滑分析性质，这为进一步设计四类锥下的光滑优化算法提供了理论支撑。

基于α-可表达和扩展的α-可表达这两个概念，许多重要的凸锥可由幂锥和指数锥来表示，其中包括二阶锥、p阶锥、几何锥和Lp锥。针对幂锥和指数锥的锥分解问题，设计了两类计算方法，其中一类基于Moreau分解定理，另一类基于两类锥的几何性质。与此同时，给出高阶幂锥的锥分解表达式并设计了快速求解算法。

5 研究生招生

智能计算与交叉学科研究团队每年招收5-6名硕士研究生，分布在以下方向。

5.1 数字图像处理

常慧宾教授，huibinchang网站163.com

5.2 地下水运动建模及高性能计算方法

郝永红教授，haoyhong网站yahoo.com
赵志学副教授，zxzhao网站amss.ac.cn

5.3 最优化理论与数值算法

卢越副教授，jinjin403网站sina.com
常慧宾教授，huibinchang网站163.com